Navier-Stokes 방정식은 유체의 움직임을 설명하는 비선형 편미분 방정식으로, 다양한 물리적 현상을 포함합니다. 이 방정식의 해를 구하는 것은 매우 복잡하기 때문에, 해석적인 방법으로는 대부분의 실제 문제를 해결할 수 없습니다. 따라서, 수치적 방법을 사용하여 근사적인 해를 구하는 것이 일반적입니다. 여기서는 유한 요소법(Finite Element Method, FEM)과 유한 차분법(Finite Difference Method, FDM)을 사용하여 Navier-Stokes 방정식을 해결하는 방법을 알아보도록 하겠습니다.
1. FEM, FDM 개념 시각적 비교
각 계산방식의 차이에 대해 직관적으로 이해를 돕기 위해 위의 그림과 같이 제시를 해보았는데, 여기 제시된 그림은 유한 요소법(FEM)과 유한 차분법(FDM)을 시각적으로 나타낸 것입니다.
- 왼쪽 그림 (FEM): 이 그림은 유한 요소법을 나타내며, 계산 영역을 삼각형 요소로 분할한 메쉬를 보여줍니다. 각 삼각형은 계산 영역의 작은 부분을 나타내며, 이들 요소의 조합으로 전체 문제를 해결합니다.
- 오른쪽 그림 (FDM): 이 그림은 유한 차분법을 나타내며, 정사각형 격자로 나뉜 영역에서 속도 벡터 필드를 시각화한 것입니다. 각 격자점에서의 유체 속도를 계산하여 흐름을 예측합니다.
그러나 둘의 한계점도 있는데요. 주요 한계에 대한 내용은 아래 글을 참고하시기 바랍니다.
2. 유한 요소법 (Finite Element Method, FEM)
유한 요소법은 복잡한 기하학적 구조를 가진 문제에서 많이 사용되는 수치적 방법입니다. 이 방법은 계산 영역을 작은 부분, 즉 “요소”로 분할하고, 각 요소에서 방정식을 근사적으로 풀어 전체 해를 구합니다.
a. 영역 분할 (Meshing)
먼저, 문제의 정의 영역을 작은 요소들로 나누는 “메싱” 과정을 수행합니다. 이 요소들은 삼각형, 사각형, 또는 3D의 경우 테트라헤드론이나 헥사헤드론 등의 형상을 가질 수 있습니다. 각 요소는 인접한 요소들과 노드(점)를 공유합니다.
b. 약한 형태 (Weak Form)
Navier-Stokes 방정식을 유한 요소법으로 풀기 위해, 방정식을 약한 형태(Weak Form)로 변환합니다. 이는 벡터 방정식에 가중 함수(test function)를 곱해 적분하는 방식으로 이루어지며, 경계 조건에 맞춰 조정됩니다.
c. 요소별 방정식 설정
각 요소에 대해 방정식을 설정합니다. 이 방정식은 요소의 물리적 특성(예: 점성, 밀도 등)과 관련된 매개변수를 포함하며, 요소 내에서 유체 속도와 압력을 결정합니다.
d. 전체 시스템의 조립
모든 요소에서 구한 방정식을 조립하여 전체 시스템 방정식을 만듭니다. 이 과정은 각 요소의 방정식이 전체 계산 영역에서 어떻게 연결되는지를 나타내며, 시스템의 전역 행렬(Global Matrix)을 형성합니다.
e. 해 구하기
최종적으로, 전역 행렬을 풀어 전체 계산 영역에서의 유체 흐름을 계산합니다. 이때, 대규모 행렬을 다루기 때문에 고성능 계산이 필요하며, 보통 직접 해법(Direct Methods)이나 반복 해법(Iterative Methods)을 사용합니다.
3. 유한 차분법 (Finite Difference Method, FDM)
유한 차분법은 계산 영역을 격자로 나누고, 각 격자점에서의 미분을 근사적으로 표현하여 편미분 방정식을 해결하는 방법입니다.
a. 격자 생성 (Grid Generation)
문제를 정의하는 영역을 격자로 나눕니다. 격자는 일정한 간격으로 나눌 수 있으며, 각 격자점에서 유체의 속도와 압력을 계산합니다.
b. 미분의 근사
유한 차분법은 미분 연산을 근사적으로 표현합니다. 예를 들어, 1차 미분은 다음과 같이 근사할 수 있습니다:
(∂u/∂x) ≈ (u_{i+1} – u_{i}) / Δx
여기서, Δx는 격자 간격을 의미합니다. 2차 미분의 경우 다음과 같이 표현됩니다:
(∂²u/∂x²) ≈ (u_{i+1} – 2u_{i} + u_{i-1}) / (Δx)²
이와 같은 방식으로, Navier-Stokes 방정식의 각 항을 격자점에서 근사적으로 표현할 수 있습니다.
c. 시간에 따른 해 계산 (Time Stepping)
Navier-Stokes 방정식은 시간에 따라 변화하는 비선형 방정식이므로, 시간을 작은 간격(Δt)으로 나누어 각 시간 단계에서의 유체 흐름을 계산합니다. 이 과정은 전진 오일러법(Explicit Euler Method), 후진 오일러법(Implicit Euler Method) 또는 크랭크-니콜슨 방법(Crank-Nicholson Method) 등의 시간 적분 기법을 사용하여 수행됩니다.
d. 경계 조건 적용
격자점에서 계산된 해를 바탕으로, 경계 조건을 적용합니다. 경계 조건은 유체가 경계에서 어떻게 행동하는지를 정의하며, 벽면에서는 유속이 0이 되거나(무슬립 조건), 자유 경계에서는 압력 조건이 적용될 수 있습니다.
e. 반복 계산
시간 단계마다 해를 구하고, 이전 단계의 결과를 다음 단계의 초기 조건으로 사용하여 계산을 반복합니다. 이 과정을 통해 특정 시간까지 유체의 흐름을 시뮬레이션할 수 있습니다.
4. 비교와 선택
- FEM은 복잡한 기하학적 형태와 다양한 경계 조건을 다룰 때 유리합니다. 하지만 계산 비용이 높고, 복잡한 조립 과정이 필요합니다.
- FDM은 비교적 간단한 격자 구조에서 계산하기 쉽지만, 비정상적인 경계나 복잡한 기하학적 형태를 다루는 데는 제한이 있습니다.
결론적으로, Navier-Stokes 방정식의 수치적 해법은 문제의 특성, 기하학적 형태, 계산 자원 등을 고려하여 적절한 방법을 선택하는 것이 중요합니다. FEM과 FDM은 각각 장단점이 있으며, 이를 잘 활용하면 유체 역학 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다.